УДК 37
DOI: 10.36871/ek.up.p.r.2026.05.11.029

Авторы

Мохаммад Вахаевич Хасамбиев,
Макка Ахмедовна Хасамбиева,
Грозненский государственный нефтяной технический университет имени академика М.Д. Миллионщикова, Грозный, Россия

Аннотация

В статье рассматриваются теоретические основы и прикладные аспекты применения методов дробного исчисления для математического моделирования задач наследственной механики, то есть механики материалов, обладающих эффектом «памяти» – зависимостью текущего напряжённо-деформированного состояния от всей предшествующей истории нагружения. Актуальность исследования обусловлена тем, что классические модели вязкоупругости, использующие производные целого порядка, часто оказываются недостаточными для адекватного описания поведения реальных материалов – полимеров, биологических тканей, горных пород, композитов, – которые демонстрируют степенные, а не экспоненциальные законы релаксации и ползучести. Дробное исчисление, оперирующее производными и интегралами нецелого порядка, предоставляет естественный математический аппарат для описания процессов с памятью, поскольку дробные операторы по своей природе являются нелокальными и учитывают всю предысторию процесса. Цель работы – систематизация современных подходов к моделированию наследственно-упругих сред с использованием методов дробного исчисления, анализ преимуществ и ограничений дробных моделей по сравнению с классическими, а также обсуждение методов идентификации параметров моделей на основе экспериментальных данных.

Ключевые слова

наследственная механика, дробное исчисление, вязкоупругость, дробные производные, реологические модели

Список литературы

  1. Васильев В.В., Симак Л.А. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем. – Киев: НАН Украины, 2008. – 256 с..
  2. Журавков М.А., Романова Н.С. О перспективах использования теории дробного дифференциального исчисления в механике. – Минск: БГУ, 2013. – 53 с. – Деп. в БГУ 13.03.2013 № 000413032013.
  3. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение: монография. – Москва: Физматлит, 2003. – 272 с.
  4. Огородников Е.Н., Яшагин Н.С. Методы, структура и свойства решений дифференциальных уравнений дробных осцилляторов в механических системах с одной степенью свободы // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4 (2). – С. 258–259.
  5. Потапов А.А. Фракталы и дробное исчисление в физике (очерки по развитию дробного исчисления в работах А.В. Летникова) // Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии. – 2012. – № 1. – URL: http://rensit.ru/vypuski/article/93/
  6. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
  7. Сургуладзе Т.А. Об одном применении дробного исчисления в вязкоупругости // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. – 2000. – № 5. – С. 62–66.
  8. Унгарова Л.Г. Методы математического моделирования наследственно-упругих сред на основе дробного исчисления: дис. … канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. – Самара: Самарский государственный технический университет, 2020. – 126 с.
  9. Учайкин В.В. Метод дробных производных. – Ульяновск: Артишок, 2008. – 512 с.
  10. Шитикова М.В. Обзор вязкоупругих моделей с операторами дробного порядка, используемых в динамических задачах механики твердого тела // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. – 2022. – № 1. – С. 3–40.