УДК 512.54, 004.021
DOI: 10.36871/2618-9976.2023.04.003

Авторы

Ирина Васильевна Добрынина,
Доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математического анализа, Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия
Евгений Викторович Манохин,
Заведующий кафедрой математики и информатики, Тульский филиал Финуниверситета, Тула, Россия

Аннотация

В начале двадцатого века оформились основополагающие с точки зрения существования алгоритмов проблемы в теории групп. К ним относятся проблемы тождества (или равенства) произвольных слов, а также сопряженности произвольных слов (сформулированы М. Деном). Помимо этого, ставится проблема изоморфизма для групп (сформулирована Г. Титцеом). Российские алгебраисты П.С. Новиков и С.И. Адян смогли получить доказательство неразрешимости этих проблем для всех групп, относящихся к конечно определенным группам. После публикации данных результатов алгоритмические проблемы вместе со всевозможными их обобщениями исследуются уже в фиксированных классах групп. В качестве одного из обобщений проблемы для сопряженности произвольных слов ставится вопрос сопряженности произвольных подгрупп, а именно вопрос нахождения алгоритма, который по произвольным подгруппам, заданным конечным множеством порождающих и определяющих слов, некоторой группы смог бы определить, сопряжены они в данной группе или же не сопряжены. В качестве другого обобщения сопряженности слов можно рассматривать для слов обобщенную сопряженность, позволяющую определять алгоритм, способный по произвольным конечным наборам слов из некоторой группы установить, будут ли они сопряжены в ней или нет. Если оба эти обобщения соединить в одно, то получим обобщение проблемы сопряженности подгрупп. Группы Артина появились давно, они включают известные группы кос, которые с алгебраической точки зрения изучаются с двадцатых годов прошедшего века. Решение рассматриваемых проблем в группах Артина вызвало большие трудности, что привело к выделению различных подклассов. В статье доказывается разрешимость обобщения проблемы сопряженности подгрупп в группах Артина на двух порождающих.

Ключевые слова

алгоритмическая проблема
алгоритм
группа Артина
порождающие
сопряженность
подгруппа