УДК 612.014.42:519.6:535.012.2
DOI: 10.36871/2618-­9976.2026.01.003

Авторы

Евгений Юрьевич Щетинин,
Доктор физико-­математических наук, профессор кафедры информационных систем и технологий, Севастопольский государственный университет, Севастополь, Россия

Аннотация

Создание цифровых двойников сердца требует решения бидоменных уравнений электрофизиологии в квази­реальном времени. Классические сеточные методы вычислительно затратны, а существующие суррогатные модели на основе глубокого обучения нарушают физические законы и неустойчивы для жёстких систем.
Предложена гибридная архитектура, сочетающая авторегрессионный нейронный оператор Фурье (AR­FNO) для нелинейной реакции­диффузии и метод сопряжённых градиентов (CG) для эллиптического уравнения связи. Проблема сглаживания фронтов решается функционалом потерь с адаптивным взвешиванием градиентов в норме Соболева H1 и анализом чувствительности к артефактам маски погруженной границы.
На трёхмерных анизотропных блоках достигнута ошибка скорости проведения (CV) в 3,5 раза ниже базовых нейросетевых методов. Гибридная схема снижает невязку эллиптического уравнения до машинной точности, устраняя нефизичный дрейф потенциалов. Ускорение составило раз относительно CPU­FEM решателя openCARP. Обобщаемость на сложные геометрии требует дальнейшей валидации.
Метод обеспечивает баланс между скоростью и физической точностью для ускоренного моделирования аритмий в упрощенных сценариях, с потенциалом расширения на клинические приложения после дополнительной верификации.

Ключевые слова

электрокардиография
бидоменная модель
нейронный оператор Фурье
операторное расщепление
вычислительная кардиология

Список литературы

[1] Bourgault Y., Coudière Y., Pierre C. Existence and uniqueness of the solution for the bidomain model used in cardiac electrophysiology.Nonlinear Anal Real World Appl. 2009;10(1):458­482.
[2] Brandstetter J., Worrall D., Welling M. Message passing neural PDE solvers. In: International Conference on Learning Representations (ICLR), 2022.
[3] Colli Franzone P., Pavarino L.F., Scacchi S. Mathematical Cardiac Electrophysiology. Cham: Springer, 2014.
[4] Colli Franzone P., Savaré G. Degenerate evolution systems modeling the cardiac electric field at micro­ and macroscopic level. In: Luterotti F., Kenmochi N., editors. Evolution Equations. Basel: Birkhäuser, 2002. Pр. 49­78.
[5] Czarnecki W.M., Osindero S., Jaderberg M., Swirszcz G., Pascanu R. Sobolev training for neural networks. In: Advances in Neural Information Processing Systems (NeurIPS), 2017. Pр. 4278–4287.
[6] Fresca S., Manzoni A. POD­DL­ROM: enhancing deep learning­based reduced order models for nonlinear parametrized PDEs by proper orthogonal decomposition. Comput Methods Appl Mech Eng. 2022;388:114181.
[7] Geselowitz D.B., Miller W.T. A bidomain model for anisotropic cardiac muscle. Ann Biomed Eng. 1983;11(3­4):191­206.
[8] Grandits T., Pezzuto S., Costabal F.S., Perdikaris P., Pock T., Plank G., et al. Learning atrial fiber orientations and conductivity tensors from intracardiac maps using physicsinformed neural networks. In: Functional Imaging and Modeling of the Heart (FIMH), 2021. Pр. 650–658.
[9] Karniadakis G.E., Kevrekidis I.G., Lu L., Perdikaris P., Wang S., Yang L. Physics­informed machine learning. Nat Rev Phys. 2021;3(6):422­440.
[10] Kovachki N., Li Z., Liu B., Azizzadenesheli K., Bhattacharya K., Stuart A., et al. Neural operator: learning maps between function spaces with applications to PDEs. J Mach Learn Res. 2023;24(89):1­97.
[11] Krishnapriyan A.S., Gholami A., Zhe S., Kirby R.M., Mahoney M.W. Characterizing possible failure modes in physics­informed neural networks. In: Advances in Neural Information Processing Systems (NeurIPS); 2021.
[12] Li Z., Huang D.Z., Liu B., Anandkumar A. Fourier neural operator with learned deformations for PDEs on general geometries. J Mach Learn Res. 2023;24(388):1­26.
[13] Li Z., Kovachki N., Azizzadenesheli K., Liu B., Bhattacharya K., Stuart A., et al. Fourier neural operator for parametric partial differential equations. In: International Conference on Learning Representations (ICLR), 2021.
[14] Li Z., Kovachki N., Azizzadenesheli K., Liu B., Bhattacharya K., Stuart A., et al. Neural operator: graph kernel network for partial differential equations. arXiv preprint arXiv: 2003.03485. 2020.
[15] Lu L., Jin P., Pang G., Zhang Z., Karniadakis G.E. Learning nonlinear operators via DeepONet based on the universal approximation theorem of operators. Nat Mach Intell. 2021;3(3):218­229.
[16] Miller W.T., Geselowitz D.B. Simulation studies of the electrocardiogram. I. The normal heart. Circ Res. 1978;43(2):301­315.
[17] Neu J.C., Krassowska W. Homogenization of syncytial tissues. Crit Rev Biomed Eng. 1993;21(2):137­199.
[18] Niederer S.A., Lumens J., Trayanova N.A. Computational models in cardiology. Nat Rev Cardiol. 2019;16(2):100­111.
[19] Niederer S.A., Kerfoot E., Benson A.P., Bernabeu M.O., Bernus O., Bradley C., et al. Verification of cardiac tissue electrophysiology simulators using an N­version benchmark. Philos Trans A Math Phys Eng Sci. 2011;369(1954):4331­4351.
[20] Peskin C.S. The immersed boundary method. Acta Numer. 2002;11:479­517.
[21] Plank G., Loewe A., Neic A., Augustin C., Huang Y.L., Gsell M.A.F., et al. The openCARP simulation environment for cardiac electrophysiology. Comput Methods Programs Biomed. 2021;208:106223.
[22] Qu Z., Garfinkel A. An advanced algorithm for solving partial differential equation in cardiac conduction. IEEE Trans Biomed Eng. 1999;46(9):1166­1168.
[23] Rahaman N., Baratin A., Arpit D., Draxler F., Lin M., Hamprecht F.A., et al. On the spectral bias of neural networks. In: Proceedings of the 36th International Conference on Machine Learning (ICML), 2019. Рp. 5301–5310.
[24] Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics­informed neural networks: a deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. J Comput Phys. 2019;378:686­707.
[25] Schmitt O.H. Biological information processing using the concept of interpenetrating domains. In: Leibovic KN, editor. Information Processing in The Nervous System. New York: Springer, 1969. Рp. 325–331.
[26] Son H., Jang J.W., Han W.J., Hwang H.J. Sobolev training for physics informed neural networks. arXiv preprint arXiv:2101.08932. 2021.
[27] Sundnes J., Lines G.T., Cai X., Nielsen B.F., Mardal K.A., Tveito A. Computing the Electrical Activity in the Heart. Berlin: Springer, 2006.
[28] Ten Tusscher K.H.W.J., Panfilov A.V. Alternans and spiral breakup in a human ventricular tissue model. Am J Physiol Heart Circ Physiol. 2006;291(3):H1088­H1100.
[29] Trayanova N.A. Whole­heart modeling: applications to cardiac electrophysiology and electromechanics. Circ Res. 2011;108(1):113­128.
[30] Tung L. A bi­domain model for describing ischemic myocardial D­C potentials [dissertation]. Cambridge (MA): Massachusetts Institute of Technology, 1978.
[31] Vigmond E.J., Aguel F., Trayanova N.A. Computational techniques for solving the bidomain equations in three dimensions. IEEE Trans Biomed Eng. 2002;49(11):1260­1269.
[32] Whiteley J.P. An efficient numerical technique for the solution of the monodomain and bidomain equations. IEEE Trans Biomed Eng. 2006;53(11):2139­2147.
[33] Yu J., Lu L., Meng X., Karniadakis G.E. Gradient­enhanced physics­informed neural networks for forward and inverse PDE problems. Comput Methods Appl Mech Eng. 2022;393:114823.