УДК 517.972:519.632
DOI: 10.36871/2618-­9976.2026.03.001

Авторы

Евгений Юрьевич Щетинин,
Доктор физико­-математических наук, профессор кафедры «Информационных технологий и систем», Севастопольский государственный университет, Севастополь, Россия

Аннотация

Вариационные модели регуляризации в обработке изображений  используют  дискретные  веса,  зависящие  от  локального  контраста, однако их поведение может существенно зависеть  от шага сетки. Цель работы – выявить и формализовать масштабную  несогласованность распространенных  схем  и  предложить  корректирующую модификацию. Выполнен асимптотический анализ стандартных разностных  весов при измельчении сетки h→0 и построена метрически согласованная форма аргумента весовой функции на основе нормированных конечных  разностей.  Проведена  вычислительная  валидация  на  синтетических  тестах  и  на  клинических  данных  (датасет  ACDC).  Строго  показано  вырождение  стандартных  edgeadaptive весов и потеря анизотропных свойств в пределе мелкой  сетки.  Предложенная  модификация  сохраняет  контраст  весов, согласуется с непрерывной взвешенной энергией Дирихле  и  обеспечивает  корректность  вариационной  постановки (коэрцитивность, полунепрерывность снизу и существование  минимизатора).  Масштабно­согласованные  веса  стабилизируют  регуляризацию  при  смене  пространственного  разрешения  и  уменьшают  необходимость  эвристической  перекалибровки  параметров,  повышая  робастность  алгоритмов  медицинской визуализации.

Ключевые слова

взвешенная энергия Дирихле
регуляризация по границам
масштабная согласованность
дискретно-­непрерывный предел
обратные задачи
сходимость

Список литературы

[1] Щетинин Е.Ю. Гибридный авторегрессионный  спектральный метод моделирования электрофизиологии анизотропных сред // Мягкие измерения и вычисления. 2026. № 1. Т. 98. С. 30–46; https://doi.org/10.36871/26189976.2026.01.003.

[2] Abramoff M.D., et al. Computational medical imaging: challenges and opportunities. Nat Med. 2021;27:1344–52. DOI: 10.1038/s41591­021­01459­y.

[3] ACDC Challenge. Automated Cardiac Diagnosis Challenge [Internet]. [cited 2026 Feb 14]. Available from: https://www.creatis.insa­lyon.fr/Challenge/acdc/.

[4] Ambrosio L., Fusco N, Pallara D. Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems. Oxford: Oxford University Press; 2000.

[5] Bauschke H.H., Combettes P.L. Convex Analysis. Cham: Springer; 2017.

[6] Bernard O., et al. Deep learning techniques for automatic MRI cardiac segmentation. IEEE Trans Med Imaging. 2018;37(11):2319–31. DOI: 10.1109/TMI.2018.2837502.

[7] Braides A. Γ­Convergence for Beginners. Oxford: Oxford University Press; 2002.

[8] Braides A., Defranceschi A. Homogenization of Multiple Integrals. Oxford: Oxford University Press; 1998.

[9] Chambolle A. An algorithm for total variation minimization and applications. J Math Imaging Vis. 2004;20(1–2):89–97. DOI: 10.1023/B:JMIV.0000011325.36760.1e.

[10] Dal Maso G. An Introduction to  Γ­Convergence. Boston: Birkhäuser; 1993. DOI: 10.1007/978­1­4612­0327­8.

[11] Engl H.W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers; 1996. DOI: 10.1007/978­94­009­1740­8

[12] Evans L.C. Partial Differential Equations. Providence: AMS; 2010.

[13] Guo C., Pleiss G., Sun Y., Weinberger K.Q. Calibration of NeuralNetworks. ICML 2017:1321–30.

[14] He K., Sun J., Tang X. Guided image filtering. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell. 2013;35(6):1397–409. DOI: 10.1109/TPAMI.2012.213.

[15] He K., Zhang X., Ren S., Sun J. Deep residual learning for image recognition. In: CVPR 2016. Pр. 770–8. doi: 10.1109/CVPR.2016.90.

[16] Kingma D.P., Ba J. Adam: A method for stochastic optimization. ICLR 2015. arXiv:1412.6980.

[17] Kornprobst P., Deriche R., Aubert G. Image sequence analysis via partial regularization. J Math Imaging Vis. 1998;9(1):45–64. DOI: 10.1023/A:1008269116666.

[18] Litjens G., et al. A survey on deep learning in medical image analysis. Med Image Anal. 2017;42:60–88. DOI: 10.1016/j.media.2017.07.005.

[19] Modersitzki J. Numerical Methods for Image Registration. Oxford: Oxford University Press; 2004.

[20] Natterer F., Wübbeling F. Mathematical Methods in Image Reconstruction. Philadelphia: SIAM, 2001. DOI: 10.1137/1.9780898718324.

[21] Perona P., Malik J. Scale­space and edge detection using anisotropic diffusion. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell. 1990;12(7):629–39. DOI: 10.1109/34.56205.

[22] Ronneberger O., Fischer P., Brox T. U­Net: Convolutional networks for biomedical image segmentation. In: MICCAI 2015. Cham: Springer; 2015. Pр. 234–41. DOI: 10.1007/978­3­ 319­24574­4_28.

[23] Rudin L.I., Osher S., Fatemi E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms. Physica D. 1992;60(1­4):259­268. DOI: 10.1016/0167­2789(92)90242­F.

[24] Scherzer O., Grasmair M., Grossauer H., Haltmeier M. & Lenzen F. (2009). Variational methods in imaging. Springer, New York.

[25] Singer A., Wu H.T. Spectral convergence of the connection Laplacian from random samples. Inf Inference. 2017;6(1):58–123. DOI: 10.1093/imaiai/iaw017.

[26] Tikhonov A.N., Arsenin V.Y. Solutions of Ill­Posed Problems. Winston, 1977.

[27] Vogel C.R. Computational Methods for Inverse Problems. Philadelphia: SIAM, 2002. DOI: 10.1137/1.9780898717570.

[28] Zaitsev M., et al. Anisotropic voxels in MRI: Blessing or curse? Magn Reson Med. 2021;85(3):1234–45. DOI: 10.1002/mrm.28527.