УДК 616.12:005.8:536.2
DOI: 10.36871/2618-­9976.2026.04.003

Авторы

Евгений Юрьевич Щетинин,
Доктор физико­-математических наук, профессор кафедры «Информационных технологий», Севастопольский государственный университет, Севастополь, Россия
Андрей Андреевич Шевчук,
Аспирант кафедры «Информационных технологий», Севастопольский государственный университет, Севастополь, Россия

Аннотация

В  работе  построена  и  исследована  пятифазная  кросс­диффузионная  модель  постинфарктного  ремоделирования  миокарда  в ограниченной области состояний. Модель описывает  взаимодействие жизнеспособного миокарда, воспалительного  инфильтрата,  некротического  компонента,  активной  репаративной  фазы  и  зрелого  рубца  и  выделяет  два  качественно  различных  канала  динамики: мобильный,  включающий  жизнеспособную ткань, воспаление и активную репарацию, и дефектный,  образованный  некротическим  и  рубцовым  компонентами. Для этой модели получен собственный структурный  пакет  результатов.  Выделен  явный  достаточный  класс  коэффициентов, при котором блочная матрица подвижности является  симметричной  и  неотрицательной,  а  мобильный  блок остается равномерно коэрцитивным. Показано,  что энтропия задает  гладкую  ограниченную  по  состоянию  энтропийную  структуру, а реакционный член гладок и совместим с рассматриваемым классом состояний. В явном виде выписаны оператор  связи  и  дополнение  Шура,  доказана  их  корректность  и  гладкая зависимость от переменной состояния, что позволяет  описать шур­индуцированную  геометрию  потока и  показать, что  дефектный  канал  является  нетривиальным  и  действительно  двумерным,  а  не  сводится  к  скалярной  или  одномерной редукции. Для согласованно аугментированной матрицы  подвижности  доказана  граф­коэрцитивная  оценка,  задающая  естественный  аналитический  механизм  контроля  потока  в  присутствии  конечномерного  дефекта  подвижности.  Дополнительно  построено  подъёмное  отображение,  переводящее  фазовые  доли,  восстанавливаемые  по  данным  магнитнорезонансной  томографии  с  поздним  контрастированием,  в  допустимые начальные данные модели в ограниченной области  состояний.  Тем  самым  предложенная  система  образует  математически  замкнутую  структурную  постановку  для  анализа  постинфарктного  ремоделирования  миокарда  и  подпадает  под  предположения  общей  непертурбативной  теории  кросс­диффузионных  систем  с  конечномерным  дефектом  подвижности,  что  влечет  существование  аугментированных слабых  энтропийных  решений, порожденных  граф­коэрцитивных меры­значных пределов и слабую–сильную редукцию  в гладком режиме. Модель тем самым выступает как самостоятельный математический объект, а не как формальное приложение  к  внешнему  общему  современному  теоретическому аппарату теории.

Ключевые слова

кросс­-диффузия
ремоделирование миокарда
фиброз миокарда
энтропийный метод
дополнение Шура
конечномерный дефект подвижности
меры­значные пределы

Список литературы

[1] Ball J.M. A version of the fundamental theorem for Young measures, Lecture Notes in Physics, 344 (1989), 207–215.

[2] Chen Y., Jüngel A. Analysis of a multidimensional parabolic population model with strong cross­diffusion, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 36 (2004), 301–322.

[3] Dafermos M. Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics, 4th ed. Springer, Berlin, 2016.

[4] Feireisl E., Jin B., Novotný A. Relative entropies, suitable weak solutions, and weak–strong uniqueness for the compressible Navier­Stokes system. Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 14 (2012), 717–730.

[5] Fischer J. Weak–strong uniqueness of solutions to entropy­dissipating reaction–diffusion equations. Nonlinear Analysis, 159 (2017), 181–207.

[6] Frangogiannis N.G. The mechanistic basis of infarct healing. Antioxidants & Redox Signaling, 8 (2006), 1907–1939.

[7] Horn R.A., Johnson C.R. Matrix Analysis, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2013. [8] Jüngel. Entropy Methods for Diffusive Partial Differential Equations, Springer, Cham, 2016.

[9] Jüngel. Structure­preserving analysis of cross­diffusion systems. Vietnam Journal of Mathematics, 49 (2021), 583–628.

[10] Jüngel. The boundedness­by­entropy method for cross­diffusion systems. Nonlinearity, 28 (2015), 1963–2001.

[11] Kim R.J., Wu E., Rafael A. et al. The use of contrast­enhanced magnetic resonance imaging to identify reversible myocardial dysfunction. New England Journal of Medicine, 343 (2000), 1445–1453.

[12] Pedregal P. Parametrized Measures and Variational Principles. Birkhäuser, Basel, 1997.

[13] Prabhu S.D., Frangogiannis N.G. The biological basis for cardiac repair after myocardial infarction. Circulation Research, 119 (2016), 91–112.

[14] Shchetinin E.Yu., Shevchuk A.A. Generated graph­coercive measure­valued limits for cross­diffusion systems with finite­dimensional mobility defect. Preprint, 2026.

[15] Shchetinin E.Yu., Shevchuk A.A. Weak–strong uniqueness and absence of small additive regularization for graph­coercive limits in cross­diffusion systems. Preprint, 2026.

[16] Shigesada N., Kawasaki K., Teramoto E. Spatial segregation of interacting species. Journal of Theoretical Biology, 79 (1979), 83–99.