УДК 004.932.1
DOI: 10.36871/2618-­9976.2026.05.016

Авторы

Евгений Юрьевич Щетинин,
Доктор физико­-математических наук, профессор кафедры «Информационных технологий», Севастопольский государственный университет, Севастополь, Россия
Андрей Андреевич Шевчук,
Аспирант кафедры «Информационных технологий», Севастопольский государственный университет, Севастополь, Россия

Аннотация

Стандартные  дискретные  схемы  семантической  сегментации  страдают  от  масштабной  несогласованности:  при  измельчении сетки ненормированные весовые функции вырождаются, тривиализируя анизотропные свойства предельного оператора. Предложен метод, формулирующий задачу как минимизацию составного функционала с параметризацией распределения  Дирихле,  регуляризацией  Кульбака–Лейблера  и  анизотропными  регуляризаторами  типа взвешенной  энергии  Дирихле;  адаптивные  к  границам  веса  конструируются  через  нормированные конечные разности с физическим шагом сетки.  Доказаны  два  центральных  результата:  Теорема  1  устанавливает нижнюю полунепрерывность взвешенных функционалов  в  топологии L1 ;  Теорема  2  доказывает  Γ­сходимость  семейства дискретных анизотропных функционалов к нетривиальному  непрерывному  пределу.  Дополнительно  доказана  равнокоэрцитивность  дискретных  энергий,  гарантирующая  сходимость почти минимизаторов. Совокупность результатов  впервые  обеспечивает  вариационную  согласованность  дискретизации для задачи сегментации с распределением Дирихле для произвольной размерности d ≥1.

Ключевые слова

семантическая сегментация
распределение Дирихле
оценка неопределенности
анизотропная регуляризация
Γ­-сходимость
переменная согласованность дискретизации
нормированные конечные разности
калибровка вероятности
медицинская визуализация

Список литературы

[1] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные  методы. М.:  БИНОМ; 2012. 636 с.

[2] Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука; 1989. 616 с.

[3] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука; 1979. 288 с.

[4] Abdar M., Pourpanah F., Hussain S. et al. A Review of Uncertainty Quantification in Deep Learning: Techniques, Applications and Challenges. Inf Fusion, 2021, vol. 76, pp. 243– 297. DOI: 10.1016/j.inffus.2021.05.008.

[5] Begoli E., Bhattacharya T., Kusnezov D. The Need for Uncertainty Quantification in Machine­Assisted Medical Decision Making. Nat Mach Intell, 2019, vol. 1, no. 1, pp. 20–23. DOI: 10.1038/s42256­018­0004­1.

[6] Bernard O., Lalande A., Zotti C. et al. Deep Learning Techniques for Automatic MRI Cardiac Multi­Structures Segmentation and Diagnosis. IEEE Trans Med Imaging, 2018, vol. 37, no. 11, pp. 2514–2525. DOI: 10.1109/TMI.2018.2837502.

[7] Braides A. Γ­Convergence for Beginners. Oxford: Oxford University Press, 2002. DOI: 10.1093/acprof:oso/9780198507840.001.0001.

[8] Chen T., Xu B., Zhang C., Guestrin C. Training Deep Nets with Sublinear Memory Cost. arXiv, 2016. arXiv:1604.06174.

[9] Ciarlet P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. Philadelphia: SIAM, 2002. DOI: 10.1137/1.9780898719208.

[10] Dal Maso G. An Introduction to  Γ­Convergence. Boston: Birkhäuser, 1993. DOI: 10.1007/978­1­4612­0327­8.

[11] Gal Y., Ghahramani Z. Dropout as a Bayesian Approximation: Representing Model Uncertainty in Deep Learning. Proc ICML. PMLR, 2016, pp. 1050–1059.

[12] Geifman Y., El­Yaniv R. Selective Classification for Deep Neural Networks. Advances in NeurIPS, 2017, vol. 30, pp. 4878–4887.

[13] Guo C., Pleiss G., Sun Y., Weinberger K.Q. On Calibration of Modern Neural Networks. Proc ICML, 2017, pp. 1321–1330.

[14] Han K., Li M., Wang C. et al. Region Uncertainty Estimation for Medical Image Segmentation with Noisy Labels. IEEE Trans Med Imaging, 2025, vol. 44, no. 12, pp. 5197–5207. DOI: 10.1109/TMI.2025.3589058.

[15] He K., Zhang X., Ren S., Sun J. Deep Residual Learning for Image Recognition. Proc CVPR, 2016, pp. 770–778. DOI: 10.1109/CVPR.2016.90.

[16] Isensee F., Jaeger P.F., Kohl S.A.A. et al. nnU­Net: A Self­Configuring Method for Deep Learning­Based Biomedical Image Segmentation. Nat Methods, 2021, vol. 18, no. 2, pp. 203–211. DOI: 10.1038/s41592­020­01008­z.

[17] Johnson N.L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous Univariate Distributions, Vol. 2. 2nd ed. New York: Wiley, 1995.

[18] Jungo A., Reyes M. Assessing Reliability and Challenges of Uncertainty Estimations for Medical Image Segmentation. MICCAI 2019. LNCS, vol. 11765. Springer, 2019, pp. 48–56. DOI: 10.1007/978­3­030­32245­8_6.

[19] Kavur A.E., Gezer N.S., Barış M. et al. CHAOS Challenge – Combined (CT­MR) Healthy Abdominal Organ Segmentation. Med Image Anal, 2021, vol. 69, p. 101950. DOI: 10.1016/j.media.2020.101950.

[20] Kingma D.P., Ba J. Adam: A Method for Stochastic Optimization. Proc ICLR, 2015. arXiv:1412.6980.

[21] Lakshminarayanan B., Pritzel A., Blundell C. Simple and Scalable Predictive Uncertainty Estimation Using Deep Ensembles. Advances in NeurIPS, 2017, vol. 30, pp. 6402–6413.

[22] Landman B.A., Xu Z., Iglesias J.E. et al. MICCAI Multi­Atlas Labeling Beyond the Cranial Vault, 2015. Available: https://www.synapse.org/#!Synapse:syn3193805 (Accessed: 01 Feb 2026). DOI: 10.7303/syn3193805.

[23] Li H., Nan Y., Del Ser J., Yang G. Region­Based Evidential Deep Learning to Quantify Uncertainty and Improve Robustness of Brain Tumor Segmentation. Neural Comput Appl, 2023, vol. 35, pp. 22071–22085. DOI: 10.1007/s00521­022­08016­4.

[24] Malinin A., Gales M. Predictive Uncertainty Estimation via Prior Networks. Advances in NeurIPS, 2018, vol. 31, pp. 7047–7058.

[25] Mehrtash A., Wells W.M., Tempany C.M., Abolmaesumi P., Kapur T. Confidence Calibration and Predictive Uncertainty Estimation for Deep Medical Image Segmentation. IEEE Trans Med Imaging, 2020, vol. 39, no. 12, pp. 3868–3878. DOI: 10.1109/TMI.2020.3006437.

[26] Micikevicius P., Narang S., Alben J. et al. Mixed Precision Training. Proc ICLR, 2018. arXiv:1710.03740.

[27] Nair T., Precup D., Arnold D.L., Arbel T. Exploring Uncertainty Measures in Deep Networks for Multiple Sclerosis Lesion Detection and Segmentation. Med Image Anal, 2020, vol. 59, p. 101557. DOI: 10.1016/j.media.2019.101557.

[28] Perona P., Malik J. Scale­Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell, 1990, vol. 12, no. 7, pp. 629–639. DOI: 10.1109/34.56205.

[29] Ronneberger O., Fischer P., Brox T. U­Net: Convolutional Networks for Biomedical Image Segmentation. MICCAI 2015. LNCS, vol. 9351. Springer, 2015, pp. 234–241. DOI: 10.1007/ 978­3­319­24574­4_28.

[30] Sensoy M., Kaplan L., Kandemir M. Evidential Deep Learning to Quantify Classification Uncertainty. Advances in NeurIPS, 2018, vol. 31, pp. 3183–3193.

[31] Wang K., Liu J., An Z., Lu Y. UDEL: Rethinking Uncertainty Dynamic Estimation Learning for Ambiguous Medical Image Segmentation. Digit Signal Process, 2026, vol. 169, p. 105723. DOI: 10.1016/j.dsp.2025.105723.

[32] Wu Y., He K. Group Normalization. Proc ECCV, 2018, pp. 72–87. DOI: 10.1007/978­3­030­ 01264­1_5.

[33] Yang B., Zhang X., Zhang H. et al. Structural Uncertainty Estimation for Medical Image Segmentation. Med Image Anal, 2025, vol. 103, p. 103602. DOI: 10.1016/j.media.2025.103602.